Eksponentielle Udviklinger
En funktion af formen \(f(x)=ba^x\), hvor \(a\) og \(b\) er positive konstanter, kaldes en eksponentiel udvikling. Hvis \(b=1\) (så \(f(x)=a^x\)) taler man også om en eksponentialfunktion, og tallet \(a\) kaldes grundtallet for eksponentialfunktionen. Det er dog ikke alle, der skelner mellem eksponentielle udviklinger og eksponentialfunktioner. De kalder i stedet eksponentielle udviklinger for eksponentialfunktioner.
Når vi forlanger, at konstanten \(a\) skal være positiv, skyldes det at potensopløftningen \(a^x\) slet ikke er defineret, når \(a\) er negativ. For \(a\) positiv er \(a^x\) defineret ved hjælp af det udvidede potensbegreb, \[ a^x=\exp(x\cdot\ln(a)). \] Grunden til, at \(b\) skal være positiv, er, at vi i anvendelser ønsker, at værdierne af funktionen er positive. Potensopløftningen \(a^x\) er jo altid positiv, så når vi ganger med et positivt tal, sikrer vi, at resultatet er positivt. Der er ingen matematisk begrundelse for, at \(b\) skal være positiv.
Hvis \(a=1\), så er den eksponentielle udvikling \(f(x)=ba^x\) konstant, idet \[ f(x)=b\cdot 1^x=b\cdot 1=b \] for alle \(x\in\Bbb{R}\). Det betyder, at for \(a=1\) er værdimængden \(\vm(f)=\{b\}\). For \(a\ne 1\) er værdimængden \(\vm(f)=\Bbb{R}_+\).
Læs mere om eksponentielle udviklinger ved at klikke på emnerne nedenfor.
- Betydning af konstanterne for en eksponentiel udvikling
- Den ene konstant fortæller om funktionen er aftagende, konstant eller voksende. Den anden konstant er funktionens værdi i \(x=0\).
- Vækst for en eksponentiel udvikling
- Vækstformlen for eksponentielle udviklinger fortæller, hvordan man finder fremskrivningsfaktoren for den afhængige variabel, når man kender kender den absolutte tilvækst for den uafhængige variabel.
- Find forskrift for en eksponentiel udvikling
- Når man kender to punkter på grafen for en eksponentiel udvikling, så kan man bestemme forskriften for funktionen.
- Fordoblingskonstant og halveringskonstant
- Den absolutte tilvækst for den uafhængige variabel, som svarer til en fordobling/halvering af den afhængige variabel for en voksende/aftagende eksponentiel udvikling.
- Den naturlige eksponentialfunktion
- Den naturlige eksponentialfunktion er den omvendte funktion til den naturlige logaritme. Enhver eksponentiel udvikling kan udtrykkes ved den naturlige eksponentialfunktion.
- Eksponentielle udviklinger og semilogaritmisk papir
- En funktion er en eksponentiel udvikling, hvis og kun hvis grafen bliver en ret linje på semilogaritmisk papir med den logaritmiske inddeling på y-aksen.