Find forskrift for en eksponentiel udvikling

Hvis man kender to forskellige punkter \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) på grafen for en ekspo­nen­tiel udvikling, så er funktionen entydigt bestemt. Det er med andre ord muligt at be­stem­me en forskrift for en ekspo­nen­tiel udvikling, når vi kender to punkter på grafen. En ekspo­nen­tiel udvikling har jo forskriften \(f(x)=bx^a\), og hvis de to kendte punkter er \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) så er det muligt at bestemme konstanterne \(a\) og \(b\) ved hjælp af formlerne \[ a=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}} \] og \[ b=\frac{y_1}{a^{x_1}}. \]

Beviset benytter vækstformlen for ekspo­nen­tielle udviklinger, der som bekendt siger, at \[ F_y=a^{\Delta x}, \] hvor \(\Delta x=x_2-x_1\) er den absolutte tilvækst i \(x\) og \(F_y=\frac{y_2}{y_1}\) er frem­skriv­nings­faktoren for \(y\). Da de to punkter er forskellige, er \(x_1\ne x_2\), hvorfor \(\Delta x\ne 0\). Dermed kan vi tage den \(\Delta x\)'te rod på begge sider af lighedstegnet i vækstformlen, hvilket giver \[ a=\sqrt[\Delta x]{F_y}=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}}. \] Da punktet \((x_1,y_1)\) ligger på grafen, er \(y_1=ba^{x_1}\). Ved at dividere med \(a^{x_1}\) på begge sider af lighedstegnet får vi \[ b=\frac{y_1}{a^{x_1}}. \]

Som et eksempel på anvendelse af formlerne ser vi på den ekspo­nen­tielle udvikling, der er bestemt ved at gå gennem punkterne \(\left(-2,\frac{1}{2}\right)\) og \((1,4)\). Når vi sætter ind i formlen for \(a\), får vi \[ a=\sqrt[1-(-2)]{\frac{4}{\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{4\cdot 2}=2. \] Dernæst benytter vi formlen for \(b\), hvilket giver \[ b=\frac{\frac{1}{2}}{2^{-2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\cdot4=2. \] Dermed har vi vist, at den ekspo­nen­tielle udvikling er givet ved \(y=2\cdot 2^x\). Nedenfor ses grafen og de to punkter.