Logo

Betydning af konstanterne for en eksponentiel udvikling

En eksponentiel udvikling er en funktion af formen \(f(x)=ba^x\), hvor \(a\) og \(b\) er positive konstanter. Funktionerne \(f_1(x)=2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x\), \(f_2(x)=2\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^x\) og \(f_3(x)=3\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^x\) er alle eksponentielle udviklinger. For \(f_1\) er \(a=\frac{2}{3}\) og \(b=2\), for \(f_2\) er \(a=\frac{3}{2}\) og \(b=2\) og for \(f_3\) er \(a=\frac{3}{2}\) og \(b=3\). Nedenfor ses graferne for \(f_1\), \(f_2\) og \(f_3\). Grafen for \(f_1\) er blå, grafen for \(f_2\) er grøn og grafen for \(f_3\) er rød. Eksempler på eksponentielle udviklinger er \(f_1(x)=\frac{1}{4}x-1\), \(f_2(x)=-x+2\) og \(f_3(x)=\frac{1}{4}x+2\). For \(f_1\) er \(a=\frac{1}{4}\) og \(b=-1\), for \(f_2\) er \(a=-1\) og \(b=2\) og for \(f_3\) er \(a=\frac{1}{4}\) og \(b=2\). Nedenfor ses graferne for \(f_1\), \(f_2\) og \(f_3\). Grafen for \(f_1\) er blå, grafen for \(f_2\) er grøn og grafen for \(f_3\) er rød.

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.

Konstanterne \(a\) og \(b\) har betydning for grafens udseende: Hvis \(a>1\), så er funktionen voksende, hvis \(a=1\), så er funktionen konstant, og hvis \(a<1\), så er funktionen aftagende. Funktionen \(f_1\) er altså aftagende, mens funktionerne \(f_2\) og \(f_3\) er voksende. Konstanten \(b\) fortæller, hvor grafen skærer \(y\)-aksen. Graferne for funktionerne \(f_1\) og \(f_2\) skærer altså \(y\)-aksen i \(y=2\), mens \(f_3\) skærer \(y\)-aksen i \(y=3\).

Grunden til, at \(b\) angiver skæringen med \(y\)-aksen, er, at \[ f(0)=ba^0=b\cdot 1=b. \] Den geometrisk betydning af konstanten \(a\) er, at hver gang vi lægger 1 til \(x\), så skal vi gange \(y\) med \(a\). Der gælder nemlig \[ f(x+1)=ba^{x+1}=ba^xa^1=ba^xa=f(x)\cdot a. \] For eksempel gælder der for funktionen \(f(x)=\frac{1}{2}\cdot 3^x\) (der har \(a=3\)), at \(f(0)=\frac{1}{2}\), \(f(1)=f(0)\cdot 3=\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}\) og \(f(2)=f(1)\cdot 3=\frac{3}{2}\cdot 3=\frac{9}{2}\). Nedenfor ses grafen for \(f\).

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.