Logo

Vækst for en eksponentiel udvikling

En eksponentiel udvikling er en funktion af formen \(f(x)=ba^x\), hvor \(a\) og \(b\) er positive reelle konstanter. Betydningen af konstanten \(a\) er, at hver gang man lægger \(1\) til \(x\), så skal man gange \(y\) med \(a\). Hvis man i stedet lægger \(2\) til \(x\), så skal man gange \(y\) med \(a\cdot a=a^2\), og hvis man lægger \(3\) til \(x\), så skal man gange \(y\) med \(a\cdot a\cdot a=a^3\).

Hvad så, hvis vi i stedet lægger \(\Delta x\) til \(x\)? I så fald skal vi gange \(y\) med \(a^{\Delta x}\). Vi betegner det, vi lægger til \(x\), med \(\Delta x\), og vi betegner det, vi ganger \(y\) med, med \(F_y\). Der gælder så vækstformlen for eksponentielle udviklinger \[ F_y=a^{\Delta x}. \]

For at huske vækstformlen kan man tænke på, at formlen for en eksponentiel udvikling er \(y=ba^x\). I vækstformlen er \(b\) forsvundet, mens \(x\) og \(y\) er blevet til henholdsvis \(\Delta x\) og \(F_y\).

Vi kalder det, vi lægger til \(x\), for den den absolutte tilvækst i \(x\) og betegner det med \(\Delta x\). Hvis vi kalder startværdien af \(x\) for \(x_1\) og slutværdien for \(x_2\), så er \(x_2=x_1+\Delta x\), hvilket kan omskrives til \(\Delta x=x_2-x_1\).

Vi kalder det, vi skal gange \(y\) med, for fremskrivningsfaktoren for \(y\), hvilket vi betegner med \(F_y\). Vi betegner startværdien af \(y\) med \(y_1\) og slutværdien med \(y_2\). Der gælder så \(y_2=y_1\cdot F_y\), hvilket også kan skrives \(F_y=\frac{y_2}{y_1}\).

En anden måde at formulere vækstformlen på er, at der for alle \(x\) og \(\Delta x\) gælder \[f(x+\Delta x)=f(x)\cdot a^{\Delta x}.\] Dette er nemt at bevise. Ved at benytte potensregnereglen \(a^{x+\Delta x}=a^xa^{\Delta x}\) får vi nemlig \[ f(x+\Delta x)=ba^{x+\Delta x}=ba^xa^{\Delta x}=f(x)\cdot a^{\Delta x}. \]

Et alternativt bevis for vækstformlen for eksponentielle udviklinger benytter potensregnereglen \(a^{x_2-x_1}=a^{x_2}/a^{x_1}\). Da \(y_1=ba^{x_1}\) og \(y_2=ba^{x_2}\), er \[ F_y=\frac{y_2}{y_1}=\frac{ba^{x_2}}{ba^{x_1}}=\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}}=a^{x_2-x_1}=a^{\Delta x}. \]

Som et eksempel på anvendelse af vækstformlen for eksponentielle udviklinger kan vi betragte funktionen \(f(x)=5\cdot 2^x\) og en absolut tilvækst i \(x\) på \(\Delta x=3\). Fremskrivningsfaktoren for \(y\) er så \[ F_y=a^{\Delta x}=2^3=8.\]