Logo

Fordoblingskonstant og halveringskonstant

En eksponentiel udvikling er en sammenhæng af formen \(y=f(x)=ba^x\), hvor \(a,b\gt 0\). Hvis \(a>1\), så er funktionen voksende, hvis \(a=1\), så er funktionen konstant, og hvis \(a<1\), så er funktionen aftagende.

Eksponentielle udviklinger har den særlige egenskab, at når man lægger et fast tal til \(x\), så bliver \(y\) ganget med et andet fast tal, uanset udgangspunktet. Dette hænger sammen med vækstformlen for eksponentielle udviklinger, der siger, at når vi lægger \(\Delta x\) til \(x\), så bliver \(y\) ganget med \(F_y=a^{\Delta x}\).

Antag nu, at \(f(x)=ba^x\) er en voksende eksponentiel udvikling, og altså har \(a\gt 1\). Der findes så en positiv konstant \(T_2\), således at hver gang vi lægger \(T_2\) til \(x\), så bliver \(y\) fordoblet. Vi kalder \(T_2\) fordoblingskonstanten for \(f\). Det er muligt at beregne \(T_2\). Ifølge vækstformlen gælder der nemlig \[ a^{T_2}=2. \] Ved at tage logaritmen på begge sider får vi \[ \ln\left(a^{T_2}\right)=\ln(2), \] der ved hjælp af en velkendt logaritmeregneregel kan omskrives til \[ T_2\cdot\ln(a)=\ln(2). \] Da \(a\gt 1\), er \(\ln(a)\gt 0\), og vi kan derfor dividere igennem med \(\ln(a)\), hvilket giver \[ T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}. \]

Som et eksempel kan vi betragte den eksponentielle udvikling \(f(x)=0.5\cdot 1.6^x\). Her er fordoblingskonstanten \[ T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(1.6)}\approx 1.47. \] Det betyder, at hver gang vi lægger \(1.47\) til \(x\), så bliver \(y\) fordoblet. Dette illustreres nedenfor.

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.

Antag nu, at \(f(x)=ba^x\) er en aftagende eksponentiel udvikling, og altså har \(a\lt 1\). Der findes så en positiv konstant \(T_{1/2}\), således at hver gang vi lægger \(T_{1/2}\) til \(x\), så bliver \(y\) halveret. Vi kalder \(T_{1/2}\) halveringskonstanten for \(f\). Ifølge vækstformlen gælder der \[ a^{T_{1/2}}=\frac{1}{2}. \] Ved at gentage udregningerne fra før får vi \[ T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(a)}=\frac{-\ln(2)}{\ln(a)}. \]

Som et eksempel kan vi betragte den eksponentielle udvikling \(f(x)=3.6\cdot 0.4^x\). Denne funktion er aftagende, da \(0.4\lt 1\) og halveringskonstanten er \[ T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(0.4)}\approx 0.76. \] Altså bliver \(y\) halveret, hver gang vi lægger \(0.76\) til \(x\), hvilket illustreres nedenfor.

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.

Fordoblings- og halveringskonstanten giver et godt mål for, hvor hurtigt en eksponentiel udvikling vokser henholdsvis aftager. Det er vigtigt at huske, at fordoblingskonstanten kun anvendes ved voksende eksponentielle udviklinger (hvor \(a\gt 1\)), og at halveringskonstanten kun anvendes ved aftagende eksponentielle udviklinger (hvor \(a\lt 1\)). Både fordoblingskonstant og halveringskonstant er positive konstanter. Hvis man får noget negativt, skyldes det sikkert, at man har byttet om på de to formler.

Anvendelser af eksponentielle udviklinger benytter meget ofte tiden som den uafhængige variabel. Når det er tilfældet, så kaldes fordoblingkonstanten også for fordoblingstiden, mens halveringskonstanten også kaldes halveringstiden.