Logo

Abstrakt funktionsteori

Et af de vigtigste begreber i matematikken er begebet en funktion. Et andet ord for en funktion er en afbildning. Ved en funktion forstår vi løst sagt en sammenhæng mellem to variable, således at der til hver værdi af den første variabel svarer netop én værdi af den anden variabel.

Som eksempel kan vi tage sammenhængen mellem en families elforbrug og deres elregning. Til ethver værdi af elforbruget svarer én bestemt elafgift. Elafgiften er altså en funktion af elforbruget. Da elforbruget kan variere frit, kaldes elforbruget den uafhængige variabel, mens elafgiften kaldes den afhængige variabel, da den afhænger af den uafhængige variabel, elforbruget.

Vi kan blive mere præcise ved at drage mængder ind i billedet. Antag at der er givet to mængder \(X\) og \(Y\). Hvis der er en eller anden regel, der til ethvert \(x\in X\) bestemmer netop ét \(y\in Y\), så siger vi, at vi har fastlagt en funktion (eller afbildning) fra \(X\) ind i \(Y\). Mængden \(X\) kaldes funktionens definitionsmængde, og mængden \(Y\) kaldes for sekundærmængden.

Selvom ovenstående fortæller en hel del om, hvordan man bør tænke omkring begrebet en funktion, så er der på ingen måde tale om en præcis matematisk definition. Problemet er ordet “regel”. Hvad betyder det? Betyder det, at der altid er en formel (altså en forskrift), der fortæller os, hvordan vi kommer fra \(x\) til \(y\)?

Svaret er, at vi i praksis næsten altid beskæftiger os med funktioner, som har en forskrift, men at det ville være alt for restriktivt at kræve, at alle funktioner skulle have en forskrift. Det ville gøre teorien usmidig. Det er meget bedre at gøre teorien så generel som mulig.

Der er naturligvis en pris at betale for en fleksibel definition. Prisen er, at ikke alle funktioner er “pæne”. For eksempel bliver vi nødt til at acceptere eksistensen af funktioner fra de reelle tal ind i de reelle tal, som ikke har en “pæn” graf. Nedenfor giver vi en abstrakt definition af funktioner baseret på mængdelære. Med denne defintion behøver grafen for en funktion ikke være “sammenhængende”. Den behøver end ikke være sammenhængende i et eneste punkt. Der findes med andre ord funktioner, hvis graf er så “grim”, at det ikke er muligt at tegne den.

Antag at \(X\) og \(Y\) er mængder. Vi minder om, at det kartesiske produkt \(X\times Y\) består af alle ordnede par \((x,y)\), hvor \(x\in X\) og \(y\in Y\). En funktion fra \(X\) til \(Y\) er en delmængde af det kartesiske produkt \(X\times Y\), der opfylder, at der for ethvert \(x\in X\) er netop ét \(y\in Y\), således at det ordnede par \((x,y)\) er element i denne delmængde. Med andre ord: Ethvert element i \(X\) indgår på første plads i netop ét ordnet par i denne delmængde. Hvis funktionen hedder \(f\), så skriver vi \(f(x)=y\), når det ordnede par \((x,y)\) er element i delmængden.

I definitionen ovenfor kalder vi \(x\) for argumentet og \(y\) for værdien. Mængden \(X\) kaldes definitionsmængden for \(f\) og betegnes også med \(\dm(f)\). Mængden \(Y\) kaldes sekun­dær­mængden for \(f\). Mængden af alle værdier for funktionen kaldes værdimængden for \(f\) (eller billedmængden eller billedet af \(f\)) og betegnes \(\vm(f)\). Der gælder \[ \vm(f)=\left\{y\in Y\:|\: \text{Der findes}\;x\in X\;\text{så}\;y=f(x)\right\}. \] Værdimængden er en delmængde af sekundærmængden.

Ovenstående definition kan kort formuleres således: En funktion er defineret ved en mængde af inddata, kaldet definitionsmængden, en mængde indeholdende uddata og muligvis noget mere, kaldet sekundærmængden, samt mængden af alle inddata-uddata par, kaldet grafen.

Når man i praksis vil indføre en funktion (som kan defineres ved hjælp af en forskrift), er det praksis, at angive funktionens navn (f.eks. \(f\)), funktionens definitionsmængde (f.eks. \(X\)) og funktionens sekundærmængde (f.eks. \(Y\)) ved at benytte notationen \[ f:X\to Y. \] Derefter angiver man forskriften. Hvis vi for eksempel ønsker at indføre kvadratfunktionen, kan det se ud som følger: Lad funktionen \(f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) være givet ved \(f(x)=x^2\) (undertiden ser man notationen \(x\mapsto x^2\) i stedet for \(f(x)=x^2\)).

Restriktion og udvidelse

Antag at \(f:X\to Y\) er en funktion og at \(A\) er en delmængde af \(X\). Ved restriktionen af \(f\) til \(A\) forstår vi funktionen fra \(A\) ind i \(Y\), der gør det samme som \(f\). Denne funktion betegnes med \(f|_A\). Der gælder altså \[ f|_A(x)=f(x) \] for alle \(x\in A\). Hvis \(g\) er en restriktion af \(f\), så siger vi, at \(f\) er en udvidelse af \(g\).

Injektiv, surjektiv og bijektiv funktion

Vi siger, at en funktion \(f\) er injektiv (kaldes også énéntydig), hvis der for ethvert \(y\) i sekundærmængden højst er et \(x\in\dm(f)\) så \(y=f(x)\). En anden måde at udtrykke det på, er at der for alle \(x_1,x_2\in\dm(f)\) gælder: Hvis \(f(x_1)=f(x_2)\), så er \(x_1=x_2\).

Et eksempel på en funktion som er injektiv, er funktionen \(f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) givet ved \(f(x)=x-3\). Et eksempel på en funktion som ikke er injektiv, er funktionen \(g:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) givet ved \(g(x)=x^2\). For eksempel er \(g(-5)=g(5)\).

Man kan anvende en injektiv funktion på begge sider af lighedstegnet i en ligning uden at ændre løsningsmængden. For eksempel kan vi anvende den injektive funktion \(f(x)=x-3\) på ligningen \(x+3=5\), hvilket giver \(x=2\). Hvis vi anvender \(g\) (som ikke er injektiv) på ligningen \(x+3=5\), så får vi ligningen \((x+3)^2=25\), der har to løsninger, nemlig \(x=-8\) og \(x=2\), men den oprindelige ligning havde kun løsningen \(x=2\).

Værdimængden for en funktion er som tidligere nævnt en delmængde af sekundærmængden. Hvis værdimængden er lig sekundærmængden, altså hvis der for ethvert \(y\) i sekundærmængden findes mindst et \(x\in\dm(f)\) så \(y=f(x)\), så siger vi, at funktionen er surjektiv (udtales syrjektiv) eller .

En funktion, der er både er injektiv og surjektiv, siges at være bijektiv. En funktion \(f\) er bijektiv, hvis og kun hvis der for ethvert \(x\in\dm(f)\) findes netop ét \(y\) i sekundærmængden så \(y=f(x)\). En funktion har en omvendt funktion (er invertibel), hvis og kun hvis funktionen er bijektiv.

For en funktion \(f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) er den geometriske betydning af injektiv, surjektiv og bijektiv som følger. Funktionen er injektiv, hvis og kun hvis enhver vandret linje højst møder grafen for \(f\) et sted. Funktionen er surjektiv, hvis og kun hvis enhver vandret linje møder grafen for \(f\) mindst et sted. Funktionen er bijektiv, hvis og kun hvis enhver vandret linje møder grafen for \(f\) netop ét sted.