Logo

Funktioner fra reelle tal ind i reelle tal

En funktion med værdier i de reelle tal kaldes en reel funktion. En funktion, der er defineret på (en delmængde af) de reelle tal, kaldes en funktion af en reel variabel. Det følgende handler om reelle funktioner af en reel variabel. Det er den slags funktioner, man beskæftiger sig med i gymnasiet, og de går derfor af og til under navnet “gymnasiefunktioner”.

Inden for de reelle tal har man de fire regningsarter. Som vi skal se nedenfor, kan disse regneoperationer overføres til reelle funktioner. Derefter skal vi se på en række begre­ber for reelle funktioner af en reel variable, der hænger sammen med, at de reelle tal er en ordnet mængde. Det drejer sig om begreber som minimum og maksimum samt aftagende og voksende.

Mange af de egenskaber ved reelle funktioner af en reel variabel, som vi beskriver i det følgende, fortæller noget om, hvordan funktionens graf ser ud. Man siger, at man laver en funktionsanalyse, når man for en forelagt funktion finder alt, der fortæller noget om grafens udseende.

Regning med reelle funktioner

For to funktioner \(f,g:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) kan vi definere deres sum \(f+g\) ved \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hvis for eksempel \(f(x)=x^{3}-4x^{2}-2x+4\) og \(g(x)=x^{2}-x-2\), så er \((f+g)(x)=2x^{3}-3x^{2}-3x+2\), idet \[ \begin{align} (f+g)(x)&=x^{3}-4x^{2}-2x+4+x^{2}-x-2\\ &=x^{3}-4x^{2}+x^{2}-2x-x+4-2\\ &=2x^{3}-3x^{2}-3x+2.\\ \end{align} \] Nedenfor ses graferne for \(f\), \(g\) og \(f+g\). Grafen for \(f\) er blå, grafen for \(g\) er grøn og grafen for summen \(f+g\) er rød.

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.

For at definere summen af to funktioner \(f\) og \(g\) behøver de to funktioner ikke at være defineret på hele \(\Bbb{R}\). Hvis den ene eller begge funktioner ikke er defineret på hele \(\Bbb{R}\), så er definitionsmængden for summen \(\dm(f+g)=\dm(f)\cap\dm(g)\).

På samme måde kan vi definere differensen \(f-g\) ved \[ (f-g)(x)=f(x)-g(x), \] produktet \(f\cdot g\) ved \[ (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x), \] og kvotienten \(\frac{f}{g}\) ved \[ \frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)}. \] Definitionsmængden for differensen og produktet er selvfølgelig også \(\dm(f)\cap\dm(g)\). Definitionsmængden for kvotienten \(\frac{f}{g}\) indeholder ikke de \(x\), hvor \(g(x)=0\), da det ikke er muligt at dividere med nul. Definitionsmængden for \(\frac{f}{g}\) er med andre ord \[ \dm\left(\frac{f}{g}\right)=\left\{x\in\dm(f)\cap\dm(g) \hspace{0.2222222222222222em}|\hspace{0.2222222222222222em} g(x)\ne 0\right\}. \] I eksemplet ovenfor er \[ \dm\left(\frac{f}{g}\right)=\Bbb{R}\setminus\{-1,2\}. \]

Nulpunkter

Lad \(f\) være en reel funktion. Ved et nulpunkt for \(f\) forstår vi et \(x_0\in\dm(f)\) så \(f(x_0)=0\). (Vi bruger notationen \(x_0\) i stedet for \(x\) for at signalere at der er tale om en bestemt værdi af variablen \(x\).) Betegnelsen nulpunkt er egentlig lidt misvisende, hvis \(f\) er defineret på de reelle tal, da der jo ikke er tale om et punkt, men om en \(x\)-værdi, som her er et tal. Som et eksempel kan nævnes at funktionen \(f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) givet ved \(f(x)=2x+6\) har et nulpunkt i \(x=-3\), da \(f(-3)=2\cdot (-3)+6=0\).

Et nulpunkt \(x_0\) for en reel funktion af en reel variabel \(f\) siges at være et isoleret nulpunkt, hvis der findes et åbent interval \(I\), som indeholder \(x_0\), og som opfylder, at \(f(x)\ne 0\) for alle \(x\in I\setminus\{x_0\}\).

Begrænsede funktioner

Lad \(f\) være en funktion fra de reelle tal ind i de reelle tal, antag at \(x_0\in\dm(f)\) og sæt \(y_0=f(x_0)\). Vi siger, at \(y_0\) er minimum for \(f\), hvis \(f(x)\ge y_0\) for alle \(x\in\dm(f)\). I så fald siger vi, at \(x_0\) er et minimumssted for \(f\). Vi siger også, at funktionen antager minimum i \(x_0\). En funktion kan godt have mere end et minimumssted. Betragt for eksempel funktionen \(f_1:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) givet ved \(f_1(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2\). Denne funktion har et minimum på \(-4\), som både antages i \(x=-2\) og \(x=2\).

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.

Tilsvarende definerer vi maksimum for en funktion \(f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) som et tal \(y_0\), der opfylder, at der findes et \(x_0\in\dm(f)\), så \(f(x_0)=y_0\), samt at \(f(x)\le y_0\) for alle \(x\in\dm(f)\). I så fald siger vi, at funktionen antager maksimum i \(x_0\), eller at \(x_0\) er et maksimumssted. Det er ikke alle funktioner, der har et maksimum. Det gælder for eksempel ikke for funktionen \(f_1(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2\), hvis graf ses ovenfor. Denne funktion kan nemlig antage vilkårligt store værdier, hvorfor \(\vm(f_1)=[-4;\infty[\hspace{0.1666666666666667em}\). Det gælder heller ikke for funktionen \(f_2:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) givet ved \[ f_2(x)=\frac{x^2}{x^2+1}. \] Nedenfor ses grafen for \(f_2\).

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.

En funktion \(f\) siges at være nedadtil begrænset, hvis der findes et \(y_0\), så \(f(x)\gt y_0\) for alle \(x\in\dm(f)\), og at være opadtil begrænset, hvis der findes et \(y_0\), så \(f(x)\lt y_0\) for alle \(x\in\dm(f)\). For eksempel er funktionen \(f_2\) opadtil begrænset, da \(f_2(x)\lt 1\) for alle \(x\in\dm(f_2)\). Men \(f_2\) har ikke et maksimum, da der ikke findes et \(x_0\in\dm(f_2)\), så \(f_2(x_0)=1\), mens der for ethvert \(y_0\in [0;1[\) findes et \(x_0\in\dm(f_2)\), så \(f_2(x_0)=y_0\). Værdimængden for \(f_2\) er altså \(\vm(f)=[0;1[\hspace{0.1666666666666667em}\). En funktion siges at være begrænset, hvis den er både nedadtil og opadtil begrænset.

Voksende og aftagende funktioner

En reel funktion af reel variabel \(f\) siges at være voksende, såfremt der for alle \(x_1,x_2\in\dm(f)\) gælder: Hvis \(x_1\lt x_2\), så er \(f(x_1)\lt f(x_2)\). Det betyder, at der for en voksende funktion gælder, at jo større \(x\), jo større bliver \(y\). Hvis man i et koordinatsystem bevæger sig fra venstre mod højre, så går grafen opad for en voksende funktion.

Funktionen siges at være aftagende, såfremt der for alle \(x_1,x_2\in\dm(f)\) gælder: Hvis \(x_1\lt x_2\), så er \(f(x_1)\gt f(x_2)\). Det betyder, at der for en aftagende funktion gælder, at jo større \(x\), jo mindre bliver \(y\). Hvis man i et koordinatsystem bevæger sig fra venstre mod højre, så går grafen nedad for en aftagende funktion.

Funktionen siges at være konstant, såfremt der for alle \(x_1,x_2\in\dm(f)\) gælder \(f(x_1)=f(x_2)\).

En funktion siges at være monoton, hvis den er enten voksende eller aftagende. En monoton funktion er specielt injektiv. Dermed har en monoton funktion, der tillige er surjektiv, en omvendt funktion.

Monotoniintervaller og lokale ekstrema

Selvom en reel funktion af en reel variabel hverken er voksende eller aftagende, kan funktionen godt være monoton i et interval. Antag at \(f\) er en reel funktion af en reel variabel og at \(I\) er et interval, der er indeholdt i definitionsmængden for \(f\). Vi siger, at \(f\) er voksende i intervallet \(I\), såfremt der for alle \(x_1,x_2\in I\) gælder: Hvis \(x_1\lt x_2\), så er \(f(x_1)\lt f(x_2)\). Vi siger, at \(f\) er aftagende i intervallet \(I\), såfremt der for alle \(x_1,x_2\in I\) gælder: Hvis \(x_1\lt x_2\), så er \(f(x_1)\gt f(x_2)\). Funktionen siges at være konstant i intervallet \(I\), såfremt der for alle \(x_1,x_2\in I\) gælder \(f(x_1)=f(x_2)\).

Som et eksempel kan vi betragte funktionen \(g:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) givet ved \(g(x)=x^3-3x\). Grafen for \(g\) ses nedenfor. Denne funktion er voksende i intervallet \(]-\infty;-1]\), aftagende i intervallet \([-1,1]\) og voksende i intervallet \([1,\infty[\hspace{0.1666666666666667em}\).

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.

Monotoniintervaller handler om for en given funktion at opdele \(x\)-aksen i intervaller, hvor funktionen er enten voksende, aftagende eller konstant. Den korrekte sprogbrug i forbindelse med monotoniintervaller er at sige, at funktionen er voksende eller aftagende eller konstant i et interval. Det er ikke korrekt at sige, at grafen er voksende eller aftagende eller konstant i intervallet.

Bemærk at voksende, aftagende og konstant er intervalegenskaber. I definitionen indgår en sammenligning af funktionsværdier for to forskellige \(x\)'er i intervallet. Derfor giver det ingen mening at tale om begreberne voksende, aftagende og konstant for en enkelt \(x\)-værdi. Læg også mærke til, at \(x=-1\) både er med i et interval, hvor funktionen er voksende, og et interval, hvor den er aftagende. Det samme gælder for \(x=1\).

Lad \(f\) være en reel funktion af en reel variabel og antag at \(x_0\in\dm(f)\). Hvis der findes et åbent interval \(I\), som indeholder \(x_0\), og som opfylder, at \(f(x)\ge f(x_0)\) for alle \(x\in I\), så siger vi, at \(f\) antager et lokalt minimum i \(x_0\) eller at \(x_0\) er et lokalt minimumsted. Værdien \(f(x_0)\) kaldes så et lokalt minimum for \(f\).

Hvis der findes et åbent interval \(I\), som indeholder \(x_0\), og som opfylder, at \(f(x)\le f(x_0)\) for alle \(x\in I\), så siger vi, at \(f\) antager et lokalt maksimum i \(x_0\) eller at \(x_0\) er et lokalt maksimumsted. Værdien \(f(x_0)\) kaldes så et lokalt maksimum for \(f\).

Funktionen \(g\) har et lokalt minimum på \(-2\), der antages i \(x=1\), samt et lokalt maksimum på \(2\), der antages i \(x=-1\). Bemærk at funktionen hverken er begrænset nedadtil eller opadtil, hvorfor funktionen hverken har et minimum eller et maksimum.

Flertalsformen af minimum er minima, og flertalsformen af maksimum er maksima. En funktion kan godt have flere lokale minima eller flere lokale maksima, men der kan højst være et minimum og højst et maksimum. Et eventuelt minimum kaldes også globalt minimum, mens et eventuelt maksimum også kaldes globalt maksimum. Et globalt minimum/maksimum er også lokalt minimum/maksimum. Minimum og maksimum kaldes under et for ekstremum (i flertal ekstrema).

Lige og ulige funktion

En reel funktion af en reel variabel \(f\) siges at være lige, hvis definitionsmængden for \(f\) er symmetrisk omkring \(0\) og der for alle \(x\in\dm(f)\) gælder \(f(-x)=f(x)\). Hvis definitionsmængden for \(f\) er symmetrisk omkring \(0\) og der for alle \(x\in\dm(f)\) gælder \(f(-x)=-f(x)\), så siger vi, at \(f\) er ulige.

Funktionen \(f_1:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) givet ved \(f_1(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2\) er lige, fordi \[ f_1(-x)=\frac{1}{4}(-x)^4-2(-x)^2=\frac{1}{4}x^4-2x^2=f_1(x). \] Funktionen \(f_2\) defineret ovenfor er også lige. Funktionen \(g:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) givet ved \(g(x)=x^3-3x\) er ulige, idet \[ g(-x)=(-x)^3-3\cdot (-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-g(x). \]

Grafen for en lige funktion er symmetrisk omkring \(y\)-aksen. Grafen for en ulige funktion er symmetrisk omkring origo.

Asymptoter

Hvis grafen for en reel funktion af en reel variabel nærmer sig en ret linje for \(x\) eller \(y\) gående mod \(\pm\infty\), så siger man, at grafen har denne rette linje som asymptote. Afhængig af om den rette linje er vandret, lodret eller skrå taler man om en vandret, lodret eller skrå asymptote.

Et eksempel på en funktion med en vandret asymptote er funktionen \(f_2\) defineret ovenfor. Grafen for denne funktion har en vandret asymptote med ligningen \(y=1\), idet \[ f_2(x)=\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}, \] og \(\frac{1}{x^2+1}\) går mod nul for \(x\) gående mod \(\pm\infty\). Et eksempel på en funktion, der både har en lodret og en skrå asymptote, er funktionen \(h:\Bbb{R}\setminus\{1\}\to\Bbb{R}\) givet ved \[ h(x)=\frac{x^2}{2x-2}. \] Funktionen er ikke defineret i \(x=1\), da nævneren her bliver nul. Til gengæld har grafen for \(h\) en lodret asymptote i \(x=1\). Desuden er der en skrå asymptote med ligningen \(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\). Ved at benytte identiteten \((x+1)(x-1)=x^2-1\), der for \(x\ne 1\) også kan skrives \[ \frac{x^2-1}{x-1}=x+1, \] kan vi nemlig lave følgende omskrivning: \[ \begin{align} h(x)&=\frac{x^2}{2x-2}\\ &=\frac{x^2-1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x-1)}\\ &=\frac{x+1}{2}+\frac{1}{2(x-1)}\\ &=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2(x-1)},\\ \end{align} \] og leddet \(\frac{1}{2(x-1)}\) går mod nul for \(x\) gående mod \(\pm\infty\).

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.