Logo

Vækst for en lineær funktion

En lineær funktion er en funktion af formen \(f(x)=ax+b\), hvor \(a\) og \(b\) er vilkårlige reelle konstanter. Betydningen af konstanten \(a\) er, at hver gang man lægger \(1\) til \(x\), så skal man lægge \(a\) til \(y\). Hvis man i stedet lægger \(2\) til \(x\), så skal man lægge \(a+a=2a\) til \(y\), og hvis man lægger \(3\) til \(x\), så skal man lægge \(a+a+a=3a\) til \(y\).

Dette kan generaliseres. Kald det, vi lægger til \(x\), for \(\Delta x\), og kald det, vi skal lægge til \(y\), for \(\Delta y\). Der gælder så vækstformlen for lineære funktioner \[ \Delta y=a\cdot\Delta x. \] Vækstformlen er nem at huske, hvis man betænker, at formlen for en lineær sammen­hæng er \(y=ax+b\). I vækstformlen er \(b\) forsvundet, mens \(x\) og \(y\) er blevet til hen­holds­vis \(\Delta x\) og \(\Delta y\).

Vi kalder det, vi lægger til \(x\), for den den absolutte tilvækst i \(x\) og betegner det med \(\Delta x\). Hvis vi kalder startværdien af \(x\) for \(x_1\) og slutværdien for \(x_2\), så er \(x_2=x_1+\Delta x\), hvilket kan omskrives til \(\Delta x=x_2-x_1\).

Tilsvarende kalder vi det, vi skal lægge til \(y\), for den absolutte tilvækst i \(y\), hvilket vi betegner med \(\Delta y\). Vi betegner startværdien af \(y\) med \(y_1\) og slutværdien med \(y_2\). Der gælder så \(y_2=y_1+\Delta y\), hvilket også kan skrives \(\Delta y=y_2-y_1\).

Det er nemt at bevise vækstformlen for lineære funktioner. Da \(y_1=ax_1+b\) og \(y_2=ax_2+b\), er \[ \Delta y=y_2-y_1=\left(ax_2+b\right)-\left(ax_1+b\right)=ax_2+b-ax_1-b=a(x_2-x_1)=a\cdot\Delta x. \]

Som et eksempel på anvendelse af vækstformlen for lineære funktioner kan vi betragte funktionen \(f(x)=-4x+5\) og en absolut tilvækst i \(x\) på \(\Delta x=3\). Den absolutte tilvækst i \(y\) er så \[ \Delta y=a\cdot\Delta x=(-4)\cdot 3=-12.\]