Logo

Logaritmeregneregler

Nedenfor ses syv logaritmeregneregler, der gælder for en vilkårlig logaritme \(\log_a\). Vi minder om, at logaritmen med grundtal \(a\) er en funktion \(\log_a:\Bbb{R}_+\to\Bbb{R}\), der opfylder, at \(\log_a(a^y)=y\) for alle \(y\in\Bbb{R}\). Hvis vi sætter \(y=0\) og benytter, at \(a^0=1\), får vi den første regel. Tilsvarende får vi den anden regel ved at sætte \(y=1\) og benytte, at \(a^1=a\).

Man kan bruge logaritmer til at simplificere visse beregninger. For eksempel fortæller den tredje regel, hvordan logaritmer laver gange om til plus. Det er den vigtigste af logaritmeregnereglerne, og kan med ord formuleres således: Logaritmen af et produkt er lig med summen af logaritmerne.

Den fjerde regel ligner den tredje. Hvis man kan huske den tredje regel (og det skulle man gerne, da det er den vigtigste af reglerne), så kan man også huske den fjerde, hvis man blot tænker på, at det modsatte af gange er dividere, og det modsatte af plus er minus. Den femte regel er en variant af den fjerde, hvor vi har sat \(x_1=1\) og \(x_2=x\). Vi har her benyttet, at \(\log_a\left(1\right)=0\).

Den næstvigtigste regel er regel nummer seks, der fortæller, hvordan man laver potensopløftning om til gange. Reglen bruges blandt andet ved løsning af eksponentielle ligninger. Den syvende regel er en variant af den sjette, idet \(\sqrt[r]{x}=x^{1/r}\). \[ \log_a\left(1\right)=0 \] \[ \log_a\left(a\right)=1 \] \[ \log_a\left(x_1\cdot x_2\right)=\log_a\left(x_1\right)+\log_a\left(x_2\right) \] \[ \log_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)=\log_a\left(x_1\right)-\log_a\left(x_2\right) \] \[ \log_a\left(\frac{1}{x}\right)=-\log_a\left(x\right) \] \[ \log_a\left(x^r\right)=r\cdot\log_a\left(x\right) \] \[ \log_a\left(\sqrt[r]{x}\right)=\frac{\log_a\left(x\right)}{r} \]

Her nogle eksempler på anvendelse af logaritmeregnereglerne: \[ \log_{12}\left(9\right)+\log_{12}\left(16\right)=\log_{12}\left(144\right)=2 \] \[ \log_{3}\left(\frac{729}{9}\right)=\log_{3}\left(729\right)-\log_{3}\left(9\right)=6-2=4 \] \[ \log_{3}\left(\frac{1}{81}\right)=-\log_{3}\left(81\right)=-4 \] \[ \log_{5}\left(5^4\right)=4\log_{5}\left(5\right)=4 \] \[ \log_{4}\left(32\right)=\log_{4}\left(\sqrt{1024}\right)=\frac{\log_{4}\left(1024\right)}{2}=\frac{5}{2} \]