Logo

Modsatte tal og reciprokke tal

For et tal \(x\) kaldes tallet \(-x\) det modsatte tal af \(x\). Hvis \(x\ne 0\), så kan vi danne tallet \(1/x\), der kaldes det reciprokke af \(x\). Et tal og dets modsatte tal ophæver hinanden i summer, mens et tal og dets reciprokke ophæver hinanden i produkter.

Modsatte tal

I matematik er der to slags minus. Det ene minus er det, der anvendes ved sub­trak­tion. Dette minus kaldes binært minus. (Binær betyder to, og bagrunden for navnet er, at minuset virker på to tal.)

Det andet minus anvendes ved negative tal, og når man vil skifte fortegn på et tal. Dette minus kaldes unært minus. (Unær betyder en, og forklaringen på navnet er, at dette minus kun virker på ét tal.) Man kan anvende det unære minus på en variabel ved at sætte minustegnet foran variablen. Herved får man tallet med modsat fortegn. Hvis for eksempel \(a=5\), så er \(-a=-5\), og hvis \(a=-5\), så er \(-a=5\). For et tal \(a\) kaldes tallet \(-a\) det modsatte tal af \(a\). Det modsatte tal af \(5\) er således \(-5\), og det modsatte af \(-5\) er \(5\). Det er klart, at det modsatte af det modsatte er tallet selv. Med symboler: \[ -(-a)=a. \]

To tal er hinandens modsatte tal, hvis og kun hvis deres sum er nul. Det betyder, at et tal og det modsatte tal ophæver hinanden i en sum. Det betyder også, at man kan lave en sub­trak­tion om til en addition med det modsatte tal. Der gælder nemlig \[ a-b=a+0-b=a+(-b)+b-b=a+(-b). \] For eksempel er \(3-2=3+(-2)\).

På mange lommeregnere er der en tast, der kan finde det modsatte tal af det senest beregnede resultat. Denne tast befinder sig typisk til højre for decimalpunktummet og kan være markeret med +/- eller CHS (hvilket står for change sign). Når man vil indtaste et negativt tal, foregår det også med denne tast. Hvis man f.eks. vil indtaste \(-25\), så starter man med at indtaste \(25\) og slutter så med at trykke på tasten for fortegnsskift. På andre lommeregnere er der (desværre) ikke en tast til at finde det modsatte tal, men der er en tast til brug ved indtastning af negative tal. Denne tast kan være markeret med (-). På disse lommeregnere starter man med at trykke på tasten for fortegnsskift, når man vil indtaste et negativt tal. På disse lommeregnere er det vigtigt, at man husker at indtaste parenteserne, når man vil lave en beregning som f.eks. \((-5)^2\). Se mere om rækkefølge af regneoperationer her.

Reciprokke tal

Ovenfor beskæftigede vi os med modsatte tal. Modsatte tal er interessante, fordi et tal og dets modsatte ophæver hinanden i summer. Summen af et tal og dets modsatte er jo nul, og når man lægger nul til et tal, får man tallet selv. Der er et tilsvarende begreb for produkter, der hedder reciprokke tal. Ved multi­pli­ka­tion spiller tallet \(1\) samme rolle som tallet \(0\) gør ved addition. Når man ganger et tal med \(1\), får man tallet selv.

To tal siges at være hinandens reciprokke, hvis deres produkt er \(1\). Tallene \(a\) og \(b\) er således hinandens reciprokke, hvis \(ab=1\). Det kommer ud på, at \[ b=\frac{1}{a}, \] hvilket er det samme som at \[ b=a^{-1}. \] Alle tal undtagen nul har en reciprok værdi. Den reciprokke af den reciprokke er tallet selv. Et eksempel på to tal, som er hinandens reciprokke, er \(2.5\) og \(0.4\). Vi kan også skrive de tal som brøker, nemlig som \(\frac{5}{2}\) og \(\frac{2}{5}\). Man finder den reciprokke værdi af en brøk ved at bytte om på tæller og nævner. En division kan laves om til en multi­pli­ka­tion med den reciprokke. Der gælder nemlig \[ a:b=a\cdot 1:b=a\cdot\frac{1}{b}\cdot b:b=a\cdot\frac{1}{b}. \] Her er et eksempel på anvendelse af reglen: \[ 2:\frac{2}{3}=2\cdot\frac{3}{2}=3. \]

På de fleste lommeregnere er der en tast, der kan finde den reciprokke af det sidst beregnede resultat. Denne tast kan være markeret med \(\frac{1}{x}\), med \(1/x\) eller med \(x^{-1}\).