Logo

Den naturlige eksponentialfunktion

En eksponentialfunktion er en funktion af formen \(f(x)=a^x\), hvor \(a\) er en positiv konstant, kaldet eksponentialfunktionens grundtal. Vi skal nedenfor se, at der er en af eksponentialfunktionerne, der er lidt finere end de andre, og derfor fortjener be­teg­nel­sen den naturlige eksponentialfunktion.

Dette minder meget om situationen for logaritmefunktioner. Blandt logaritmerne er der nemlig også en af dem, der er lidt finere end de andre. Det er den naturlige logaritme, der betegnes med \(\ln\). Vi minder om, at grundtallet \(a\) for en logaritme \(\log_a\) er det tal, som opfylder, at \[ \log_a(a^x)=x \] for alle reelle tal \(x\). For den naturlige logaritme er grundtallet \(e\), og der gælder derfor \(\ln(e^x)=x\) for alle \(x\in\Bbb{R}\).

Den naturlige logaritme er voksende og har dermed en omvendt funktion. Det er den­ne funktion, vi kalder den naturlige eksponentialfunktion. Vi betegner den natur­lige eksponentialfunktion med \(\exp\). Vi viser nu, at \(\exp\) virkelig er en eksponentialfunktion, og at grundtallet for denne funktion er \(e\). Vores påstand er altså, at der for alle \(x\in\Bbb{R}\) gælder \[ \exp(x)=e^x. \]

Dette følger umiddelbart af, at \(\ln(e^x)=x\), samt at \(\exp\) og \(\ln\) er hinandens omvendte funktioner, idet \[ \exp(x)=\exp(\ln(e^x))=e^x. \]

En vilkårlig eksponentialfunktion \(f(x)=a^x\) kan skrives på formen \(f(x)=e^{kx}\) ved at sætte \(k=\ln(a)\). Dette følger af definitionen af \(a^x\) ved hjælp af det udvidede potens­begreb, idet \[ f(x)=a^x=\exp(x\cdot\ln(a))=e^{\ln(a)\cdot x}=e^{kx}. \] Sådan en omskrivning er blandt andet hensigtsmæssig i forbindelse med diffe­ren­tial­regning. Vi kan gå den modsatte vej, fra \(e^{kx}\) til \(a^x\) ved at sætte \(a=e^k\), idet der ifølge en potensregneregel gælder \(e^{kx}=\left(e^k\right)^x\).

En eksponentiel udvikling \(f(x)=ba^x\) kan omskrives til formen \(f(x)=e^{kx+\varphi}\) ved at sætte \(k=\ln(a)\) og \(\varphi=\ln(b)\). Da \(b=e^{\varphi}\), gælder der nemlig \[ f(x)=ba^x=e^{\varphi}e^{kx}=e^{kx+\varphi} \] ifølge en anden potensregneregel.