Naturlig logaritme

Når man første gang hører om logaritmen med grundtal \(a\), så får man at vide, at det er en funktion \(\log_a:\Bbb{R}_+\to\Bbb{R}\), der opfylder, at \(\log_a(a^y)= y\) for alle reelle tal \(y\). Problemet med denne definition er, at den ikke er konstruktiv. Den fortæller os ikke, hvordan vi beregner \(\log_a(x)\) for et vilkårligt \(x\in\Bbb{R}_+\). Kun hvis \(x\) er en heltalspotens af \(a\), er det nemt at finde \(\log_a(x)\). Det råder vi delvist bod på nu. Vi indfører en ny funktion kaldet den naturlige logaritme, der kan beregnes med numeriske metoder. Man kan vise, at den naturlige logaritme er en logaritmefunktion, og således opfylder logaritmeregnereglerne. Der findes også en simpel formel, som man kan bruge til at udtrykke enhver anden logaritme ved den naturlige logaritme.

Den naturlige logaritme betegnes blandt matematikere med \(\log\), men i gymnasiet og på mange lommeregnere bruges betegnelsen \(\ln\). Vi har derfor valgt også at bruge betegnelsen \(\ln\) for den naturlige logaritme. Vi bruger ikke betegnelsen \(\log\), da det kan misforstås. På de fleste lommeregnere står \(\log\) for logaritmen med grundtal \(10\), mens en del CAS-værktøjer opfatter \(\log\) som den naturlige logaritme.

Den naturlige logaritme af et positivt reelt tal \(x_0\) er defineret som arealet under kurven \(y=\frac{1}{x}\) og over \(x\)-aksen og mellem \(x=1\) og \(x=x_0\). Hvis \(x_0<1\) regner vi arealet negativt. For eksempel er \(\ln(3)\) lig med arealet af det grønne område nedenfor.

Ved indtastning på lommeregner finder vi, at \(\ln(3)=1.098612289\). Da \(\frac{1}{3}<1\), er \(\ln\left(\frac{1}{3}\right)\) lig med minus arealet af det grønne område nedenfor. Der gælder \(\ln\left(\frac{1}{3}\right)=-1.098612289\).

Definitionen af den naturlige logaritme som et areal kan ved hjælp af integralregning også skrives \[ \ln(x)=\int_1^x \frac{1}{t}\,dt. \] Med denne definition af \(\ln\) kan man bevise logaritmeregnereglerne for den naturlige logaritme ved at bruge integralregning. Det følger i øvrigt umiddelbart af definitionen, at \(\ln\) er en voksende funktion.

Grundtallet for den naturlige logaritme kaldes Eulers tal og betegnes med bogstavet \(e\). Eulers tal er et irrationalt tal. Der gælder \(e\approx 2.718281828\).

En vilkårlig logaritme kan beregnes ved hjælp af den naturlige logaritme, idet der gælder formlen \[ \log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}. \] Det følger af formlen, at alle logaritmer er proportionale, idet vi kommer fra \(\ln\) til \(\log_a\) ved at gange med \(\frac{1}{\ln(a)}\).

Hvorfor er den naturlige logaritme “finere” end de andre logaritmefunktioner? Vi har allerede set, at der for den naturlige logaritme er en definition som et areal eller et bestemt integral, der muliggør en direkte beregning, mens man ved de andre logaritmer først må beregne den naturlige logaritme og så gange med en konstant. Det gør den naturlige logaritme “finere”.

Men der er også en anden ting, der gør, at den naturlige logaritme må siges at være “finere” end andre logaritmer. Den naturlige logaritme indgår nemlig i definitionen af potensopløftning, når eksponenten ikke er hel. Definitionen er noget teknisk og går under navnet det udvidede potensbegreb. Selvom man langt hen ad vejen kan klare sig med at tænke på potensopløftning som noget magisk, der sker, når man trykker på de rette knapper på sin lommeregner, så er der også situationer, hvor man har brug for at kende definitionen. Det gælder for eksempel, når man vil udlede formlen for differentiation af en eksponentialfunktion.