Potensopløftning

Når man første gang stifter bekendtskab med multiplikation, får man at vide, at det blot er en gentagen addition. For eksempel er \[ 5\cdot 2=2+2+2+2+2=10. \] Tilsvarende kan potensopløftning opfattes som en gentagen multiplikation. Således er \[ 2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32. \] Man kan også give mening til potensopløftning med både negative potenser og ikke-heltallige potenser. Hvordan man gør det, forklares nedenfor. Ved en potensopløftning \(a^r\) kaldes tallet \(a\) for grundtallet, mens \(r\) kaldes eksponenten. Udtrykket \(a^r\) læses “\(a\) i \(r\)'te” eller “\(a\) opløftet til \(r\)'te potens”. Vi siger også, at vi har opløftet \(a\) til potensen \(r\). Udtrykket \(a^2\) læses “\(a\) i anden” eller kvadratet på \(a\) eller \(a\) kvadreret. Udtrykket \(a^3\) læses “\(a\) i tredje”.

Hvis man bytter om på grundtal og eksponent får man i almindelighed ikke samme resultat. For eksempel er \(2^3=2\cdot2\cdot2=8\) og \(3^2=3\cdot3=9\). Rækkefølgen er heller ikke ligegyldig, når man skal beregne et udtryk med to potensopløftninger. For eksempel er \(\left(2^3\right)^2=8^2=64\), men \(2^{\left(3^2\right)}=2^9=512\). Et udtryk som \(a^{b^c}\) udregnes fra højre mod venstre. Således er \[ 2^{3^2}=2^9=512. \]

Vi påstod ovenfor, at det er muligt at give mening til potenser, hvor eksponenten ikke er et naturligt tal. Der er imidlertid et lille forbehold, nemlig at der så er restriktioner på, hvad der er muligt at have som grundtal. Man skelner mellem to situationer, som man kalder henholdsvis det klassiske potensbegreb og det udvidede potensbegreb. Det klassiske potensbegreb omfatter kun heltallige eksponenter, og her kan grundtallet være alle reelle tal undtagen nul. Heroverfor står det udvidede potensbegreb, hvor eksponenten kan være alle reelle tal, men hvor grundtallet skal være positivt.

Det klassiske potensbegreb

Når \(r\) er et naturligt tal, er potensopløftningen \(a^r\) defineret som \(a\) ganget med sig selv \(r\) gange: \[ a^r=\overbrace{a\cdot a\cdots a}^r. \] Som et konkret eksempel kan vi se på nogle potenser af \(3\): \[ 3^1=3 \] \[ 3^2=3\cdot 3=9 \] \[ 3^3=3\cdot 3\cdot 3=27 \] \[ 3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81 \] \[ 3^5=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=243 \] Det ses, at hver gang potensen stiger med \(1\), skal vi gange med \(3\). Hvis potensen omvendt falder med \(1\), så skal vi dividere med \(3\). Det virker derfor rimeligt at definere \[ 3^0=\frac{3^1}{3}=\frac{3}{3}=1 \] \[ 3^{-1}=\frac{3^0}{3}=\frac{1}{3} \] \[ 3^{-2}=\frac{3^{-1}}{3}=\frac{\frac{1}{3}}{3}=\frac{1}{9} \] \[ 3^{-3}=\frac{3^{-2}}{3}=\frac{\frac{1}{9}}{3}=\frac{1}{27} \] Vi kan naturligvis lave en tilsvarende udregning med ethvert andet grundtal, der ikke er \(0\). Derimod giver potensopløftningen \(0^0\) ikke mening, da den ville involvere division med \(0\). Det giver heller ikke mening at opløfte \(0\) til en negativ eksponent. Hvis \(a\) er et reelt tal, der ikke er \(0\), og \(r\) er et heltal, kan vi definere potensopløftningen \(a^r\) ved \[ a^r=\left\{ \begin{array}{ll} \overbrace{a\cdot a\cdots a}^r, & \mbox{hvis \(r\gt 0\)}\\ 1, & \mbox{hvis \(r=0\)}\\ \frac{1}{a^{-r}}, & \mbox{hvis \(r\lt 0\)}\\ \end{array} \right. \] Denne definition kaldes det klassiske potensbegreb. Nedenfor ses en tabel over potenser.

Det udvidede potensbegreb

Den klassiske definition af potensopløftningen \(a^r\) har kun mening, når \(r\) er et helt tal. Vi ønsker at lave en definition, som også giver mening, når \(r\) ikke er hel, og som giver samme værdi som den klassiske definition, når \(r\) er et helt tal.

Den ny definition er noget teknisk og baserer sig på den naturlige eksponential­funktion \(\exp\) og den naturlige logaritme \(\ln\). Disse to funktioner er hinandens omvendte funktioner. Det betyder, at der for alle \(x\gt 0\) gælder \(x=\exp(\ln(x))\), og at der for alle \(y\) gælder \(y=\ln(\exp(y))\).

Antag at \(a\gt 0\) og \(r\) er hel. Så er potensopløftningen \(a^r\) defineret i forhold til det klassiske potensbegreb, og der gælder \(a^r\gt 0\). Ved at benytte at \(\exp\) og \(\ln\) er hinandens omvendte funktioner, får vi \[ a^r=\exp(\ln(a^r))=\exp(r\cdot\ln a) \]

For \(a\gt 0\) opfylder det klassiske potensbegreb altså \(a^r=\exp(r\cdot\ln a)\). Her er venstresiden kun defineret for \(r\) hel, men højresiden giver mening, uanset om \(r\) er hel eller ej. Det betyder, at vi for \(a\gt 0\) og \(r\) et vilkårligt reelt tal kan definere \(a^r\) ved \[ a^r=\exp(r\cdot\ln a).%=e^{r\cdot\ln a}. \] Dette er det udvidede potensbegreb. Vi forlanger, at \(a\gt 0\), fordi man kan kun tage logaritmen til positive tal. Når \(a\gt 0\) og \(r\) er hel, får vi samme værdi, uanset hvilket af de to potensbegreber vi vælger. Der gælder følgende

Potensregneregler

\[ a^0=1 \] \[ a^1=a \] \[ a^{-r}=\frac{1}{a^r} \] \[ a^{r+s}=a^r\cdot a^s \] \[ a^{r-s}=\frac{a^r}{a^s} \] \[ a^{r\cdot s}=(a^r)^s \] \[ a^{r/s}=\sqrt[s]{a^r}=\left(\sqrt[s]{a}\right)^r \] \[ (ab)^r=a^rb^r \] \[ \left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r} \] \[ \ln(a^r)=r\cdot\ln a \]

Her er nogle eksempler på anvendelse af potensregnereglerne: \[ 2^0=1 \] \[ 2^1=2 \] \[ 2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16} \] \[ 2^{4+3}=2^4\cdot 2^3=128 \] \[ 2^{4-3}=\frac{2^4}{2^3}=2 \] \[ 2^{4\cdot 3}=\left(2^4\right)^3=4096 \] \[ 4^{5/2}=\sqrt{4^5}=\left(\sqrt{4}\right)^5=32 \] \[ (3\cdot 5)^2=3^2\cdot 5^2=225 \] \[ \left(\frac{7}{10}\right)^3=\frac{7^3}{10^3}=\frac{343}{1000} \]

Roduddragning

For et positivt tal \(a\) og et naturligt tal \(n\) definerer vi den \(n\)'te rod af \(a\) som det positive tal \(x\), der er løsning til ligningen \(x^n=a\). For eksempel er den femte rod af \(243\) lig med \(3\), fordi \(3^5=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=243\). For \(n=2\) taler vi om kvadratroden og for \(n=3\) taler vi om kubikroden. Vi skriver \(\sqrt[n]{a}\) for den \(n\)'te rod af \(a\). For \(n=2\) skriver vi dog blot \(\sqrt{a}\) i stedet for \(\sqrt[2]{a}\). Tallet \(a\) kaldes radikanden, mens \(n\) kaldes rodeksponenten.

Vi kan lave en roddudragning om til en potensopløftning. Der gælder \(\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\). Det er også muligt at tage den \(n\)'te rod af nul. Der gælder \(\sqrt[n]{0}=0\). For et negativt tal \(a\) er det ikke muligt at tage den \(n\)'te rod af \(a\), hvis \(n\) er lige. For eksempel er det ikke muligt at tage kvadratroden af et negativt tal. Derimod kan man godt tage den \(n\)'te rod af et negativt tal, hvis \(n\) er ulige. For eksempel er \(\sqrt[3]{-8}=-2\), fordi \((-2)^3=(-2)(-2)(-2)=-8\).

De vigtigste regneregler for rodudragning er, at der for alle \(n\), \(a\) og \(b\) gælder \[ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} \] samt \[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}. \]

For eksempel er \[ \sqrt[3]{1000\cdot 8}=\sqrt[3]{1000}\cdot\sqrt[3]{8}=20 \] og \[ \sqrt[3]{\frac{1000}{8}}=\frac{\sqrt[3]{1000}}{\sqrt[3]{8}}=5. \]