Logo

Betydning af konstanterne for en potensudvikling

En potensudvikling er som bekendt en funktion af formen \(f(x)=bx^a\), hvor \(a\in\Bbb{R}\) og \(b\in\Bbb{R}_+\). Der gælder med andre ord, at \(a\) er en vilkårlig konstant, mens \(b\) er en positiv konstant.

Funktionerne \(f_1(x)=2x^{-1/2}\), \(f_2(x)=2x^{1/2}\) og \(f_3(x)=4x^{-1/2}\) er alle potensudviklinger. For \(f_1\) er \(a=-\frac{1}{2}\) og \(b=2\), for \(f_2\) er \(a=\frac{1}{2}\) og \(b=2\) og for \(f_3\) er \(a=-\frac{1}{2}\) og \(b=4\). Nedenfor ses graferne for \(f_1\), \(f_2\) og \(f_3\). Grafen for \(f_1\) er blå, grafen for \(f_2\) er grøn og grafen for \(f_3\) er rød.

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.

Konstanterne \(a\) og \(b\) har betydning for grafens udseende. Konstanten \(b\) er lig med funktionens værdi i \(x=1\). Der gælder nemlig \[ f(1)=b\cdot 1^a=b\cdot 1=b. \] En anden måde at sige det samme på er, at grafen for \(f\) går gennem punktet \((1,b)\). Således går graferne for \(f_1\) og \(f_2\) gennem punktet \((1,2)\), mens grafen for \(f_3\) går gennem punktet \((1,4)\). Da en potensfunktion har \(b=1\), går grafen for en potensfunktion gennem punktet \((1,1)\).

Konstanten \(a\) har betydning for om funktionen er voksende, konstant eller aftagende. Funktionen er aftagende for \(a\lt 0\), konstant for \(a=0\) og voksende for \(a\gt 0\). Funktionerne \(f_1\) og \(f_3\) er således aftagende, mens \(f_2\) er voksende.

For at få en bedre fornemmelse for, hvad \(a\) betyder for grafens udsende, kigger vi nu på graferne for nogle potensfunktioner (dvs. potensudviklinger med \(b=1\)). Figuren nedenfor viser graferne for fem aftagende potensfunktioner, idet de alle har et negativt \(a\). Det drejer sig om funktionerne bestemt ved \(y=x^{-4}\), \(y=x^{-2}\), \(y=x^{-1}\), \(y=x^{-1/2}\) og \(y=x^{-1/4}\).

Som tidligere nævnt går alle graferne gennem punktet \((1,1)\). Det ses, at jo længere \(a\) er fra \(0\), jo mere lodret er grafen i \((1,1)\), og jo nærmere \(a\) er ved \(0\), jo mere vandret er grafen i \((1,1)\). Med differentialregning er det nemt at forklare, hvorfor det forholder sig således.

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.

Hvis \(a=0\), så er funktionen konstant, idet \(x^0=1\). Nedenfor ses grafen for potensfunktionen bestemt ved \(y=x^{0}\).

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.

Endelig ser vi på eksempler med \(a\gt 0\), hvilket altid giver en voksende funktion. Nedenfor ses graferne for potensfunktionerne bestemt ved \(y=x^{1/4}\), \(y=x^{1/2}\), \(y=x^{1}\), \(y=x^{2}\) og \(y=x^{4}\). Da \(x^1=x\), kan den midterste funktion også skrives \(y=x\). Igen ser vi, at jo nærmere \(a\) er ved \(0\), jo mere vandret er grafen i \((1,1)\), og jo længere \(a\) er fra \(0\), jo mere lodret er grafen i \((1,1)\).

Benyt en browser der understøtter html5 canvas for at se figur.