Logo

De fire regningsarter

De fire regneoperationer eller regningsarter er plus, minus, gange og dividere, og de skrives henholdsvis \(+\), \(-\), \(\cdot\) og \(:\) (eller \(/\)). Alle fire regningsoperationer involverer to tal (operander), og operationen (operatoren) skrives mellem de to tal. For eksempel er \(6+2=8\), \(6-2=4\), \(6\cdot2=12\) og \(6:2=3\). Den proces, vi udfører ved de fire regningsarter, kaldes henholdsvis addition, subtraktion, multiplikation og division.

Addition

Plus handler om at tilføje noget. Hvis vi for eksempel har tre æbler og tilføjer yderligere to æbler, så har vi i alt fem æbler. Der gælder altså \(3+2=5\). Vi siger, at vi lægger \(3\) og \(2\) sammen, eller at vi adderer \(3\) og \(2\). Ordet addere er latin og betyder tilføje. Selve processen kaldes addition. Tallene \(3\) og \(2\) kaldes addender, mens resultatet, \(5\), kaldes summen.

Hvis vi bytter om på de to addender, bliver resultatet det samme. Der gælder altså \(3+2=2+3\) (se figur med æblerne nedenfor). For alle tal \(a\) og \(b\) gælder der \[ a+b=b+a. \] Vi siger, at addendernes orden er ligegyldig, eller at den kommutative lov gælder for addition.

Addition er kommutativ

Det er muligt at lægge flere end to tal sammen. For eksempel er \[ 3+2+1=6. \] Her er rækkefølgen af de to additioner ligegyldig, idet \((3+2)+1=5+1=6\) og \(3+(2+1)=3+3=6\). Alment gælder der for alle tal \(a\), \(b\) og \(c\), at \[ (a+b)+c=a+(b+c). \] Vi siger, at addition opfylder den associative lov.

Når man lægger flere tal sammen, taler man også om at summere og om en summation. Man har af og til brug for at summere mange tal. Det kunne være, at vi havde for eksempel 100 tal betegnet \(a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\dots,a_{100}\) og ville opskrive summen. Hvordan skal vi gøre det? En mulighed er at skrive \[ a_1+a_2+a_3+a_4+\cdots+a_{100}, \] men det fylder en hel del, og man har derfor indført en mere kompakt notation, som betyder det samme: \[ \sum_{i=1}^{100}a_i. \] Det læses “summen over \(i\) løbende fra \(1\) til \(100\) af \(a_i\)”. Variablen \(i\) kaldes en summationsvariabel og kunne være erstattet med et andet bogstav, for eksempel \(j\), så summen nu skrives \(\sum_{j=1}^{100}a_j\).

Subtraktion

Minus er den modsatte operation af plus, og handler om at fjerne noget. Ovenfor havde vi tre æbler og tilføjede to æbler, hvilket bragte os op på fem æbler. Hvis vi nu fjerner to æbler, kommer vi tilbage på tre æbler. Der gælder altså \(5-2=3\), fordi \(3+2=5\). Man kan sige, at vi for to tal \(a\) og \(b\) beregner \(a-b\) ved at løse ligningen \(x+b=a\).

Når man foretager en subtraktion, kalder man det også at trække fra (eller at subtrahere). Resultatet af en subtraktion kaldes differensen.

Subtraktion er som sagt den modsatte operation af addition i den forstand, at hvis vi starter med et vilkårligt tal, og først lægger et andet tal til og derefter trækker det samme tal fra, så kommer vi tilbage til det tal, vi startede med: \[ a+b-b=a. \]

Tilsvarende hvis vi først trækker et tal fra og bagefter lægger det samme tal til, så kommer vi også tilbage til udgangspunktet: \[ a-b+b=a. \]

Rækkefølgen er ikke ligegyldig, når man skal beregne værdien af et udtryk med to minusser. Udtrykket \((a-b)-c\) er altså ikke i almindelighed lig med \(a-(b-c)\). For eksempel er \[(7-4)-2=3-2=1,\] hvilket ikke er det samme som \[7-(4-2)=7-2=5.\] Vi er derfor nødt til at vedtage en udregningsrækkefølge, når vi har et udtryk som \(a-b-c\). Den vedtagne rækkefølge er at regne fra venstre mod højre, således at \(a-b-c=(a-b)-c\).

For alle \(a\), \(b\) og \(c\) gælder der \[ a-b-c=a-(b+c). \] Dette skyldes, at det først at fjerne \(b\) og derefter fjerne \(c\) er det samme som at fjerne \(b+c\). Det betyder, at hvis vi har et regnskab med indtægter og udgifter imellem hinanden, så kan vi finde resultatet af regnskabet som summen af indtægterne minus summen af udgifterne. Hvis vi for eksempel har en indtægt på \(7\) kroner og udgifter på \(4\) og \(2\) kroner, så kan vi enten finde overskuddet på \(1\) krone ved udregningen \[ 7-4-2=(7-4)-2=3-2=1 \] eller ved \[ 7-4-2=7-(4+2)=7-6=1. \]

Multiplikation

Vi bruger normalt tegnet \(\cdot\) for gange. Når vi har at gøre med variable skriver vi dog blot variablene ved siden af hinanden, hvilket kaldes underforstået gangetegn. For eksempel skriver vi \(4xy\) i stedet for \(4\cdot x\cdot y\), fordi det første er hurtigere og ikke kan misforstås. På en lommeregner benytter man som regel tegnet \(\times\) for gange, og på et computer-tastatur bruger man typisk tegnet \(\ast\) for gange.

Når man ganger to tal med hinanden, kan man opfatte det som en gentagen addition. For eksempel kan vi finde \(3\cdot 5\) ved at lægge \(5\) sammen med sig selv tre gange: \[ 3\cdot 5=5+5+5=15. \] Med variable har vi \[ a\cdot b=\overbrace{b+\cdots +b}^a. \]

Når vi udregner \(3\cdot 5=15\), siger vi, at vi ganger \(3\) med \(5\), eller at vi multiplicerer \(3\) med \(5\). Processen kaldes multiplikation. Tallene \(3\) og \(5\) kaldes faktorer og resultatet 15 kaldes produktet.

Når man man ganger to (positive) tal med hinanden kan man opfatte det som arealet af et rektangel. Man får samme resultat, hvis man bytter om på de to faktorer. For alle tal \(a\) og \(b\) gælder der altså \[ ab=ba. \] Vi siger, at faktorernes orden er ligegyldig, eller at den kommutative lov gælder for multiplikation.

Multiplikation er kommutativ

Man kan gange flere end to tal sammen. For eksempel er \[ 3\cdot 5\cdot 4=60. \] Her er rækkefølgen ikke afgørende. Vi får samme resultat, når vi udregner \((3\cdot 5)\cdot 4=15\cdot 4=60\) og \(3\cdot (5\cdot 4)=3\cdot 20=60\). Dette er en almen regel. For alle \(a\), \(b\) og \(c\) gælder der \[ (ab)c=a(bc). \] Vi siger, at multiplikation opfylder den associative lov.

Endnu en vigtig regel handler om at kombinere multiplikation med addition (eller subtraktion). For alle \(a\), \(b\) og \(c\) gælder der \[ a(b+c)=ab+ac. \] Denne regel kaldes den distributive lov. Reglen gælder også, hvis vi på begge sider af lighedstegnet erstatter plustegnet med et minustegn. Reglen kan generaliseres til en regel om at gange parenteser sammen.

Distributive lov

Ligesom man kan skrive en sum af mange tal på kompakt form ved hjælp af sumtegnet \(\sum\), så kan man skrive et produkt af mange tal ved hjælp af tegnet \(\prod\), der kaldes et produkttegn. Hvis vi har 100 tal betegnet \(a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\dots,a_{100}\), så kan produktet \[ a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdots a_{100} \] også skrives \[ \prod_{i=1}^{100}a_i. \]

Division

Dividere er den modsatte operation af gange i den forstand, at hvis vi først ganger med et tal, som ikke er nul, og derefter dividerer med det samme tal, så kommer vi tilbage til udgangspunktet. For eksempel: Da \(5\cdot 2=10\), er \(10:2=5\). For to tal \(a\) og \(b\) finder vi \(a:b\) ved at løse ligningen \(x\cdot b=a\). Hvis \(b\) er forskellig fra nul, så har denne ligning netop én løsning. (Der er en notation for, at to tal \(x\) og \(y\) ikke er lig hinanden. Vi skriver \(x\ne y\). Tegnet \(\ne\) læses er forskellig fra. Vi kunne således have skrevet \(b\ne 0\) ovenfor.) Hvis \(b=0\), så har ligningen enten ingen løsninger (hvis \(a\ne 0\)) eller uendelig mange løsninger (hvis \(a=0\)). Dette er baggrunden for, at det ikke er muligt at dividere med nul.

Når vi udregner \(10:2=5\), siger vi, at vi dividerer \(10\) med \(2\), eller at vi deler \(10\) med \(2\). Processen kaldes division. Resultatet af en division kaldes kvotienten eller forholdet (vi siger f.eks., at forholdet mellem \(10\) og \(2\) er \(5\)). Divisionstegnet skrives \(:\) eller \(/\). På en lommeregner anvendes ofte tegnet \(\div\), men tegnet \(/\) kan også forekomme.

Division er som sagt den modsatte operation af multiplikation i den forstand, at hvis vi starter med et vilkårligt tal, og først ganger med et andet tal og derefter dividerer med det samme tal, så kommer vi tilbage til det tal, vi startede med: \[ a\cdot b:b=a. \]

Tilsvarende hvis vi først dividerer med et tal og bagefter ganger med det samme tal, så kommer vi også tilbage til udgangspunktet: \[ a:b\cdot b=a. \]

Ved et udtryk som \(a:b:c\) regner vi fra venstre mod højre. For alle \(a\), \(b\) og \(c\) med \(b\ne 0\) og \(c\ne 0\) gælder der \(a:b:c=a:(b\cdot c)\) (det at dividere først med \(b\) og så med \(c\) er det samme som at dividere med \(bc\)). For eksempel er \[ 30:2:3=15:3=5 \] og \[ 30:(2\cdot 3)=30:6=5. \]