Logo

Titalslogaritmen

Logaritmen med grundtal \(10\) kaldes også titalslogaritmen. For at undgå forvekslinger betegner vi funktionen med \(\log_{10}\). I gymnasiet og på lommeregnere bliver den ofte også bare betegnet med \(\log\), men det kan misforstås, da \(\log\) for matematikere og en del CAS-programmer betyder den naturlige logaritme. Titalslogaritmen er den omvendte funktion til eksponentialfunktionen \(f(x)=10^x\) og opfylder derfor \(\log_{10}\left(10^y\right)=y\) for alle reelle tal \(y\). For eksempel gælder der \[ \log_{10}(0.001)=\log_{10}(10^{-3})=-3 \] \[ \log_{10}(0.01)=\log_{10}(10^{-2})=-2 \] \[ \log_{10}(0.1)=\log_{10}(10^{-1})=-1 \] \[ \log_{10}(1)=\log_{10}(10^0)=0 \] \[ \log_{10}(10)=\log_{10}(10^1)=1 \] \[ \log_{10}(100)=\log_{10}(10^2)=2 \] \[ \log_{10}(1000)=\log_{10}(10^3)=3 \]

Set fra et matematisk synspunkt er titalslogaritmen ikke nær så interessant som den naturlige logaritme. Titalslogaritmen har dog en fordel, nemlig at man nemt kan lave et overslag over funktionsværdien. For eksempel kan vi uden videre sige, at \(\log_{10}(284)\) må ligge mellem \(2\) og \(3\). Det følger nemlig af, at \(\log_{10}\) er en voksende funktion, at \(\log_{10}(284)\) ligger mellem \(\log_{10}(100)=2\) og \(\log_{10}(1000)=3\). Samme argumentation giver, at hvis \(\log_{10}(n)=2.1271\), så må \(n\) være et 3-cifret tal. Titalslogaritmen opfylder som alle andre logaritmer logaritmeregnereglerne.

Anvendelser bruger gerne titalslogaritmen. Det skyldes den bekvemme regel, at en tidobling kan oversættes til, at titalslogaritmen øges med en, idet \[ \log_{10}(x\cdot 10)=\log_{10}(x)+\log_{10}(10)=\log_{10}(x)+1. \] For eksempel har man den tommelfingerregel i forbindelse med jordskælv, at en øgning med en på Richter-skalaen svarer til et ti gange så slemt jordskælv.

Endelig skal det nævnes, at før man havde elektroniske hjælpemidler, så brugte man logaritmetabeller og regnestok som hjælpemidler. Logaritmetabellerne indeholdt tabeller over titalslogaritmen og dens omvendte funktion, som man dengang kaldte antilogaritmen. Ved hjælp af logaritmetabellen kunne man simplificere forskellige beregninger. F.eks. kunne man lave en multiplikation om til en addition ved hjælp af logaritmeregnereglen \[ \log_{10}\left(x_1\cdot x_2\right)=\log_{10}\left(x_1\right)+\log_{10}\left(x_2\right). \] Det har i dag kun historisk interesse, men lad os alligevel se et eksempel. Vi ønsker at beregne \(44\cdot 56\). Ved opslag i logaritmetabellen finder vi \(\log_{10}(44)\approx 1.6435\) og \(\log_{10}(56)\approx 1.7482\). Det lægger vi så sammen og benytter reglen ovenfor til at slutte, at \(\log_{10}(44\cdot 56)\approx 3.3917\). Et nyt tabelopslag giver, at \(10^{3.3917}\approx 2436\), hvoraf vi slutter, at \(44\cdot 56=2436\).

Lad os tage endnu et eksempel. Vi ønsker at beregne \(\sqrt{1089}\). Hertil benytter vi logaritmeregnereglen \[ \log_{10}\left(\sqrt{x}\right)=\frac{\log_{10}\left(x\right)}{2}. \] Ved hjælp af reglen og tabelopslag finder vi \[ \log_{10}\left(\sqrt{1089}\right)=\frac{\log_{10}\left(1089\right)}{2}\approx\frac{3.037}{2}=1.5185, \] og et nyt tabelopslag giver \(10^{1.5185}\approx 33\). Heraf følger, at \(\sqrt{1089}=33\).