Ligninger
Ligningsløsning handler om at bestemme værdien af en eller flere ubekendte. Ved en ubekendt forstår vi en variabel, der har en fast værdi, som vi ikke kender. Selvom vi ikke kender værdien af den ubekendte, kan det godt være, at vi ved noget om, hvordan værdien forholder sig til andre størrelser, og denne viden kan muligvis bruges til at bestemme værdien af den ubekendte. Sådan en viden kommer ofte i form af en ligning. En ligning er et udtryk med et lighedstegn og en eller flere variable.
Et eksempel på en ligning er \[ x+2=5. \] Her er der en ubekendt, nemlig \(x\).
En variabel kan som bekendt opfattes som en pladsholder, hvor man kan indsætte forskellige konkrete værdier. Når man sætter tal ind i stedet for de variable i en ligning, så får man enten et sandt eller et falsk udsagn. Hvis venstresiden af ligningen er lig med højresiden, så er det et sandt udsagn, ellers er det falsk. Hvis udsagnet er sandt, så siger vi, at det tal eller talsæt, som vi har sat ind, er en løsning til ligningen.
I ligningen ovenfor kan vi sætte forskellige tal ind i stedet for \(x\). Hvis vi sætter \(1\) ind, så får vi \(1+2\) på venstresiden, hvilket er det samme som \(3\). Da venstresiden ikke er lig med højresiden, er \(1\) ikke en løsning. Hvis vi derimod sætter \(3\) ind, så får vi \(3+2\) på venstresiden, hvilket er lig med højresiden. Derfor er \(x=3\) en løsning til ligningen. Det er for øvrigt den eneste løsning til ligningen.
Der findes ligninger, der ikke har nogen løsninger. Der findes også ligninger, der har mere end en løsning. Et eksempel på en ligning, der ikke har nogen løsninger, er \[ x+1=x. \] Et eksempel på en ligning med to løsninger er \[ (x-1)^2=4. \] Her er de to løsninger \(x=-1\) og \(x=3\).
Vi siger, at vi løser en ligning, når vi finder samtlige løsninger til ligningen. Der findes forskellige løsningsstrategier, som ikke alle er lige pålidelige. Det kan derfor være en god idé at kontrollere, at de fundne løsninger er korrekte. Det gør man naturligvis ved at sætte ind. Dette kaldes at gøre prøve.
De følgende emner hører under ligningsteori.
- Grundmængde og løsningsmængde
- For en ligning er grundmængden de mulige værdier og løsningsmængden de korrekte værdier.
- Ligningstyper
- Løsningsstrategier for ligninger
- Falsk løsning
- Ligninger med en parameter
- Ligninger i flere variable
Som vi senere skal se, findes der teknikker til beregning af en lignings løsninger. Inden da skal vi dog først se på to andre løsningsstrategier, nemlig at gætte og at tegne.
Det anses normalt for “finere” at beregne løsningerne end at gætte dem. Det betyder dog ikke, at man skal rynke på næsen ad dem, der gætter. Det er stadig bedre at gætte en løsning, end at man slet ikke finder nogen løsninger. Desuden er det ofte hurtigere at beregne løsningen, når man allerede kender facit. For øvrigt bør man altid kontrollere, at de beregnede løsninger er korrekte. Det gør man naturligvis ved at sætte ind. Dette kaldes at gøre prøve.
I stedet for at sige, at man gætter, kan man også sige, at man prøver sig frem. For en ligning med en ubekendt starter man måske med at sætte \(0\) ind, derefter kan man sætte \(1\) ind, derefter \(2\), og så fremdeles. Derefter kan man prøve med de negative hele tal. Man sammenligner venstre og højre side for at se, om nogle af disse tal skulle være en løsning. Selvom man ikke skulle finde en løsning i første omgang, kan det være, at man opdager en mønster, som gør det muligt senere at spore sig ind på en løsning.
Som et eksempel kan vi betragte ligningen \[ x^2+x=90. \] Nedenfor har vi indsat tallene \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\) og \(10\). Vi forkorter venstre side med V.S. og højre side med H.S.
| \(x\) | V.S. | H.S. |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(90\) |
| \(1\) | \(2\) | \(90\) |
| \(2\) | \(6\) | \(90\) |
| \(3\) | \(12\) | \(90\) |
| \(4\) | \(20\) | \(90\) |
| \(5\) | \(30\) | \(90\) |
| \(6\) | \(42\) | \(90\) |
| \(7\) | \(56\) | \(90\) |
| \(8\) | \(72\) | \(90\) |
| \(9\) | \(90\) | \(90\) |
| \(10\) | \(110\) | \(90\) |
Det ses, at \(x=9\) er en løsning. Desuden ser det ikke ud til, at der er større tal, der er løsning. Til gengæld er der en negativ løsning. Prøv selv at finde denne løsning.
Endnu et eksempel: \[ \frac{2}{x+1}=3 \]
| \(x\) | V.S. | H.S. |
|---|---|---|
| \(-3\) | \(-1\) | \(3\) |
| \(-2\) | \(-2\) | \(3\) |
| \(-1\) | — | \(3\) |
| \(0\) | \(2\) | \(3\) |
| \(1\) | \(1\) | \(3\) |
| \(2\) | \(\frac{2}{3}\) | \(3\) |
| \(3\) | \(\frac{1}{2}\) | \(3\) |
| \(x\) | V.S. | H.S. |
|---|---|---|
| \(\) | \(\) | \(\) |
| \(x\) | V.S. | H.S. |
|---|---|---|
| \(\) | \(\) | \(\) |
| \(x\) | V.S. | H.S. |
|---|---|---|
| \(\) | \(\) | \(\) |
For en ligning i en variabel kan man også finde løsningen ved at tegne. Hvis vi nemlig betragter venstresiden som en funktion \(f\) og højresiden som en anden funktion \(g\), så kan ligningen omskrives til \(f(x)=g(x)\). Ved at tegne graferne for de to funktioner kan løsningerne til ligningen findes som \(x\)-værdierne for de punkter, hvor de to grafer skærer hinanden. Dette kaldes grafisk løsning.
Som et eksempel kan vi betragte ligningen \[ x^2-3x=2x-4. \] Hvis vi definerer to funktioner \(f,g:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) som henholdsvis venstresiden og højresiden af ligningen, så er \(f(x)=x^2-3x\) og \(g(x)=2x-4\). Nedenfor har vi tegnet grafen for \(f\) med blåt og grafen for \(g\) med grønt. Det ses, at de to grafer skærer hinanden i de to punkter \((1,-2)\) og \((4,4)\). Det betyder, at ligningen har de to løsninger \(x=1\) og \(x=4\). Hvis vi gør prøve med \(x=1\), så får vi \(-2\) på begge sider af lighedstegnet, og hvis vi indsætter \(x=4\) i ligningen, så får vi \(4\) på begge sider af lighedstegnet.
Grundmængde og løsningsmængde
To mængder optræder i forbindelse med ligningsløsning. Grundmængden består af de værdier, der gør ligningen til et veldefineret udsagn og løsningsmængden består af de værdier, der gør ligningen til et sandt udsagn. Vi betegner ofte grundmængden med \(G\) og løsningsmængden med \(L\).
En ligning kan være “udefineret” for visse værdier af den eller de variable. For eksempel er ligningen \[ \frac{6}{x-2}=3 \] ikke defineret for \(x=2\), da det ikke er tilladt at dividere med nul. Mængden af tal, der gør ligningen til et veldefineret udsagn er altså alle tal bortset fra \(2\). Vi siger, at grundmængden er \(G=\Bbb{R}\setminus\{2\}\). For at gøre ligningen til et sandt udsagn må \(x=4\). Vi siger, at løsningsmængden er \(L=\{4\}\).
Det er ikke tilladt at tage kvadratroden af et negativt tal. Udtrykket \(x+8\) er negativt, hvis \(x\) ligger i intervallet \(\,]-\infty;-8[\,\). Ligningen \[ \sqrt{x+8}=2 \] har derfor grundmængde \(G=[-8;\infty[\,\) og løsningsmængde \(L=\{-4\}\).
Ved at betragte grafen for funktionen \(f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) givet ved \(f(x)=x^2-3x\), som er vist med blåt ovenfor, ser vi, at udtrykket \(x^2-3x\) er negativt for \(x\in\,]0;3[\,\). Dette følger i øvrigt også af omskrivningen \(x^2-3x=x(x-3)\). Det betyder, at ligningen \[ \sqrt{x^2-3x}=2 \] har grundmængde \(G=\,]-\infty;0]\cup[3;\infty[\,\). Da ligningen har de to løsninger \(x=-1\) og \(x=4\), er løsningsmængden \(L=\{-1,4\}\).
Ligningen \(x+1=x\) har grundmængde \(G=\Bbb{R}\). Da ligningen ikke har nogen løsninger, er løsningsmængden tom. Vi skriver \(L=\emptyset\).
En lignings løsningsmængde er altid en delmængde af ligningens grundmængde. Hvis man derfor regner sig frem til en “løsning”, som ikke ligger i grundmængden, så må man forkaste denne “løsning”.
Ligningen \[ \frac{2x}{x}=3 \] har grundmængde \(G=\Bbb{R}\setminus\{0\}\). For \(x\ne 0\) kan vi gange med \(x\) på begge sider af lighedstegnet, hvilket giver \[ 2x=3x. \] Det ses, at den nye ligning har løsningen \(x=0\) og ikke andre løsninger. Da \(0\) ikke ligger i grundmængden for den oprindelige ligning, har den oprindelige ligning ingen løsninger. Der gælder altså \(L=\emptyset\). Bemærk at hvis vi sætter \(x=0\) ind i ligningen, så får vi på venstresiden \(\frac{0}{0}\), hvilket er udefineret.
Løsningsmetoder
\[ \frac{4x-16}{12-3x}=5. \] Da det ikke er tilladt at dividere med nul, må vi forudsætte, at \(x\ne 4\), således at \(12-3x\ne0\). Vi løser ligningen ved først at gange igennem med \(12-3x\), hvilket giver \[ 4x-16=5(12-3x). \] Når vi ganger parantesen ud, får vi \[ 4x-16=60-15x. \] Vi samler leddene med \(x\) på den ene side af lighedstegnet og tallene på den anden side ved at lægge \(15x\) og \(16\) til på begge sider af lighedstegnet. Vi har nu \[ 4x+15x=60+16, \] hvilket også kan skrives \[ 19x=76. \] Når vi dividerer igennem med \(19\) får vi \(x=4\), men vi havde jo netop forudsat, at \(x\ne 4\). Det betyder, at ligningen ikke har nogen løsninger.
regne, tegne, gætte
Ligningstyper
- lineær ligning
- andengradsligning
- ligning med kvadratrod
- ligning med numerisk værdi
- ligning med brøk
- eksponentiel ligning
- logaritmisk ligning
- trigonometrisk ligning
Løsningsstrategier
- heuristiske metoder
- grafisk løsning
- isolation af ubekendt
- faktorisering
- anvendelse af formel
- substitution
Omskrivningsregler
Isolation
Falsk løsning
Nulreglen og faktorisering
Substitution
\[ x-3\sqrt{x}=-2 \] \[ \frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}-2=0 \] \[ -(x+3)^6+4(x+3)^3=-21 \] \[ 3e^{2x}-e^x-2=0 \] \[ \sin^2x-4\sin x-5=0 \]
Ligninger med en parameter
Ligninger i flere variable
Ligningssystemer og substitutionsmetoden
Betragt ligningen \[ \sqrt{x}=x-30. \] Ved at kvadrere på begge sider af lighedstegnet får vi \[ x=(x-30)^2. \] Den sidste ligning har to løsninger, nemlig \(x=25\) og \(x=36\), men den oprindelige ligning har kun \(x=36\) som løsning. Den anden løsning \(x=25\) er en falsk løsning.
Der findes forskellige teknikker til at løse ligninger, og vi skal se nogle af dem nedenfor. Ofte kan man dog også komme langt ved at gætte eller ved at prøve sig frem. Ved at indsætte nogle forskellige værdier, og se hvor langt man er fra lighed, kan man i mange tilfælde hurtigt spore sig ind på en løsning. Det er naturligvis bedre at beregne en løsning end at gætte den, men det er ofte hurtigere og nemmere at beregne noget, når man kender facit.
Når man har beregnet en løsning, er det en god idé at sætte løsningen ind i den oprindelige ligning for at se, om det passer. Dette kaldes at gøre prøve. Det er på en måde det samme, man gør, når man gætter en løsning.
En ligning kan være “udefineret” for visse værdier af den eller de variable. For eksempel er ligningen \[ \frac{1}{x-2}=3 \] ikke defineret for \(x=2\), da det ikke er tilladt at dividere med nul. Mængden af “tilladte” værdier for den/de variable kaldes ligningens grundmængde og betegnes ofte med \(G\). Opgaver med ligningsløsning bør altid starte med en bestemmelse af ligningens grundmængde. Ligningens eventuelle løsninger skal alle ligge i grundmængden. Det kan ske, at man beregner en løsning, som ikke ligger i grundmængden. Denne løsning må så forkastes. Som et eksempel kan vi betragte ligningen \[ \frac{4x-16}{12-3x}=5. \] Da det ikke er tilladt at dividere med nul, må vi forudsætte, at \(x\ne 4\), således at \(12-3x\ne0\). Vi løser ligningen ved først at gange igennem med \(12-3x\), hvilket giver \[ 4x-16=5(12-3x). \] Når vi ganger parantesen ud, får vi \[ 4x-16=60-15x. \] Vi samler leddene med \(x\) på den ene side af lighedstegnet og tallene på den anden side ved at lægge \(15x\) og \(16\) til på begge sider af lighedstegnet. Vi har nu \[ 4x+15x=60+16, \] hvilket også kan skrives \[ 19x=76. \] Når vi dividerer igennem med \(19\) får vi \(x=4\), men vi havde jo netop forudsat, at \(x\ne 4\). Det betyder, at ligningen ikke har nogen løsninger. \[ \] \[ \frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-3}=c \] Grundmængden for denne ligning er \[ a(x-3)+b(x-5)=c(x-5)(x-3) \] \[ a(x-3)+b(x-5)=c(x^2-8x+15) \] \[ -cx^2+(a+b+8c)x-3a-5b-15c \] \[ x^2+(a+b-5)x-3a-2b+6\] \[ \sqrt{x-2}=x-8. \] \[ 3a+5b-15 \] 4, 3a+5(8-a)-15=-2a+25
Indimellem vil man gerne kunne referere til en størrelse, som man (endnu) ikke kender værdien af. Man kan have et problem, hvor en variabel repræsenterer en bestemt værdi, som endnu ikke er kendt, men som måske kan bestemmes ved at opstille og løse en eller flere ligninger. En ligning er et udtryk med et lighedstegn og mindst en variabel. Når en variabel optræder i en ligning kaldes den også en ubekendt.
falsk løsning, gøre prøve, grundmængde, løsningsmængde, ligningssystem, nulreglen
En ligning er en relation, der indeholder en eller flere variable. (Der må også være et lighedstegn.) At løse ligningen består i at finde de værdier, som indsat på variblene plads gør ligheden sand. Variblene benævnes også ubekendte, og værdier, som gør ligheden sand, kaldes løsninger. I modsætning til en identitet, så er en ligning ikke nødvendigvis opfyldt for alle mulige værdier af de variable.
I algebra er der især to typer ligninger: 1) polynomielle ligninger, dvs. rod i polynomium. 2) lineære ligninger (i flere variable). Geometrien benytter ligninger til at karakterisere geometriske figurer. I talteori har man diofantiske ligninger. Analysen studerer ligninger af typen \(f(x)=0\) (nulpunkt for en funktion). Dynamiske systemer.
parametriseret ligning
optimeringsproblemer
polynomielle ligninger
lineære ligninger i flere variable
algebraisk geometri: linjen ligning, cirklens ligning,
parameterfremstilling af linje, cirkel,
nulpunkt for funktion
differentialligning
regne, tegne, gætte
\[ a^2x+a=x-1 \] spcialtilfælde \(a=-1\) og \(a=-1\) \[ \frac{x-2}{x(x-1)}=\frac{2}{x}-\frac{a}{x-1} \] spcialtilfælde \(a=1\) \[ \left|\frac{2x-3}{x+1}\right|=3 \]